Question

Cho tam giác ABC vuông tại A.  Lấy điểm M bất kỳ trên cạnh AC đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:
a)  Tứ giác ABCD nội tiếp. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
b)  Các đường thẳng AB, MN, CD đồng quy tại một điểm.

Answer 1

a: Gọi O là trung điểm của CM

Xét (O) có

ΔCDM nội tiếp

CM là đường kính

Do đó: ΔCDM vuông tại D

=>CD\(\perp\)DB tại D

Xét (O) có

ΔCNM nội tiếp

CM là đường kính

Do đó: ΔCNM vuông tại N

=>MN\(\perp\)BC tại N

Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

Tâm là trung điểm của BC

b: Gọi K là giao điểm của CD và AB

Xét ΔCKB có

BD,CA là các đường cao

BD cắt CA tại M

Do đó: M là trực tâm của ΔCKB

=>KM\(\perp\)BC

mà MN\(\perp\)BC

và KM,MN có điểm chung là M

nên K,M,N thẳng hàng

=>CD,MN,AB đồng quy