Question

cho tam giác abc vuông tại a e là trung điểm ac ,ef vuông góc bc , af cắt be tại o a) cm: af= be.CosC

b) Sabfe=1/2 af.be.SinAOB

Answer 1

a) Xét tứ giác AEFB có 

\(\widehat{EAB}+\widehat{EFB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AEFB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat{CAF}=\widehat{CBE}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung FE)

Xét ΔACF và ΔBCE có 

\(\widehat{ACF}\) chung

\(\widehat{CAF}=\widehat{CBE}\)(cmt)

Do đó: ΔACF∼ΔBCE(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AF}{BE}=\dfrac{CF}{CE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(1)

Xét ΔCFE vuông tại F có 

\(\cos\widehat{C}=\dfrac{CF}{CE}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AF}{BE}=\cos\widehat{C}\)

hay \(AF=BE\cdot\cos\widehat{C}\)