Cho tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BE , Kẻ EH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) , gọi K là giao điểm của AB và HE , chứng minh rằng :
a, tính độ dài AC, Biết AB=6m; BC=10cm
b, Chứng minh AB=HB; AE<EC
c, Chứng minh BE vuông góc CK; AH//KC
d, Nếu góc ABC= 60 độ thì tam giác BAH là tam giác gì ? Vì sao?
a. Áp dụng đ/l Pytago có
\(AC^2=BC^2-AB^2=100-36\)
=> AC = 8 (cm)
b/ Xét t/g ABE vg tại A và t/g HBE cg tại H có
BE chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}\)
=> t/g ABE = t/g HBE
=> AB = HB ; AE = HE (*)
Xét t/g HEC vg tại H => EC > HE
=> AE < EC
c/ Xét t.g BCK có
KH vg góc BC
CA vg góc BK
CA cắt HK tại E
=> E là trực tâm t/g BCK
=> BE ⊥ CK (1)
(*) => BE là đường trung trực của AH
=> BE ⊥ AH (2)
(1) ; (2)
=> CK // AH
d/ Xét t.g BAH có AB = AH ; \(\widehat{ABH}=60^o\)
=> t/g BAH đều
a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\)
hay AC=8(cm)
Vậy: AC=8cm
b) Xét ΔAEB vuông tại A và ΔHEB vuông tại H có
BE chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABH}\))
Do đó: ΔAEB=ΔHEB(cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: AB=HB(hai cạnh tương ứng)
b) Ta có: ΔAEB=ΔHEB(cmt)
nên EA=EH(hai cạnh tương ứng)
mà EH<EC(EC là cạnh huyền trong ΔEHC vuông tại H nên EC là cạnh lớn nhất)
nên AE<EC(Đpcm)
c) Xét ΔAEK vuông tại A và ΔHEC vuông tại H có
EA=EH(cmt)
\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔAEK=ΔHEC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
Suy ra: EK=EC(hai cạnh tương ứng) và AK=HC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AB+AK=BK(A nằm giữa B và K)
HB+HC=BC(H nằm giữa B và C)
mà AB=HB(cmt)
và AK=HC(cmt)
nên BK=BC
Ta có: BK=BC(cmt)
nên B nằm trên đường trung trực của KC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: EK=EC(cmt)
nên E nằm trên đường trung trực của KC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra BE là đường trung trực của KC
hay \(BE\perp KC\)(đpcm)
c) Ta có:BA=BH(cmt)
nên B nằm trên đường trung trực của AH(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: EA=EH(cmt)
nên E nằm trên đường trung trực của AH(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Từ (3) và (4) suy ra BE là đường trung trực của AH
hay \(BE\perp AH\)
Ta có: \(BE\perp KC\)(cmt)
\(BE\perp AH\)(cmt)
Do đó: AH//KC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
d) Xét ΔBAH có BA=BH(cmt)
nên ΔBAH cân tại B(Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔBAH cân tại B có \(\widehat{ABH}=60^0\)(gt)
nên ΔBAH đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)
