Câu hỏi của Trần Hùng

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có hai đường phân giác BE và CF (E thuộc AC, F thuộc AB) cắt nhau tại I, cho O là trung điểm EF. chứng minh rằng OI vuông góc với BC

Lê Song Phương · Accepted Answer

Theo tính chất quen thuộc, O là tâm của (AEF).

Mặt khác, ta lại có $\widehat{BIC}=90^o+\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=135^o$ nên $\widehat{BIF}=45^o$. Lại có $\widehat{BAI}=45^o$ nên $\Delta BIF~\Delta BAI\left(g.g\right)$ $\Rightarrow\dfrac{BI}{BA}=\dfrac{BF}{BI}\Rightarrow BI^2=BA.BF$ $\Rightarrow P_{B/\left(O\right)}=P_{B/\left(I;0\right)}$

$\Rightarrow$ B nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I;0).

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được C nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I;0). Từ đó suy ra BC là trục đẳng phương của (O) và (I;0) $\Rightarrow BC\perp OI$ (đpcm)Câu trả lời: Theo tính chất quen thuộc, O là tâm của (AEF).

Mặt khác, ta lại có $\widehat{BIC}=90^o+\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=135^o$ nên $\widehat{BIF}=45^o$. Lại có $\widehat{BAI}=45^o$ nên $\Delta BIF~\Delta BAI\left(g.g\right)$ $\Rightarrow\dfrac{BI}{BA}=\dfrac{BF}{BI}\Rightarrow BI^2=BA.BF$ $\Rightarrow P_{B/\left(O\right)}=P_{B/\left(I;0\right)}$

$\Rightarrow$ B nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I;0).

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được C nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I;0). Từ đó suy ra BC là trục đẳng phương của (O) và (I;0) $\Rightarrow BC\perp OI$ (đpcm)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)