Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) , đường cao AH. Từ H kẻ HM AB ⊥ và HN ⊥ AC (M ∈ AB, N ∈ AC )
a) Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật và AH = MN
b) Gọi O là giao điểm của AH và MN.Trên CN lấy P sao cho NA = NP, HN cắt MP tại I. Gọi J là trung điểm của HC. Chứng minh MN // HP và O, I, J thẳng hàng
c) Trên tia AJ lấy điểm E sao cho J là trung điểm của AE. MN cắt CE tại K. Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tam giác MKE là tam giác vuông cân?
a: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>AH=MN
b: AMHN là hình chữ nhật
=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và MN
Ta có: AMHN là hình chữ nhật
=>AN//HM và AN=HM
AN//HM nên HM//PN
AN=HM
mà AN=NP
nên HM=NP
Xét tứ giác HMNP có
HM//NP
HM=NP
Do đó: HMNP là hình bình hành
=>MN//HP
Xét ΔHAC có
O,J lần lượt là trung điểm của HA,HC
=>OJ là đường trung bình của ΔHAC
=>OJ//AC
HMNP là hình bình hành
=>HN cắt MP tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm chung của HN và MP
Xét ΔMNP có
O,I lần lượt là trung điểm của MN,MP
=>OI là đường trung bình của ΔMNP
=>OI//PN
=>OI//AC
mà OJ//AC
và OI,JO có điểm chung là O
nên O,I,J thẳng hàng
