Question

Cho tam giác ABC nhọn(AB< AC), hai đường cao BE CF , cắt nhau tại H ( Ethuộc AC F, thuộc AB ). 
a) Chứng minh: ΔABE đồng dạng với ΔACF .

b) Tia EF cắt tia CB tại K . Chứng minh: KE.KF= KB.KC.
c) AH cắt BC tại D . Chứng minh: CH.CF+BH.BE=BC²

Answer 1

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó ΔAEB~ΔAFC

b: Ta có: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAFE và ΔACB có

\(\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAFE~ΔACB

=>\(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

=>\(\widehat{KFB}=\widehat{KCE}\)

Xét ΔKFB và ΔKCE có

\(\widehat{KFB}=\widehat{KCE}\)

\(\widehat{FKB}\) chung

Do đó: ΔKFB~ΔKCE

=>\(\dfrac{KF}{KC}=\dfrac{KB}{KE}\)

=>\(KF\cdot KE=KB\cdot KC\)

c: Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại D

Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có

\(\widehat{DCH}\) chung

Do đó ΔCDH~ΔCFB

=>\(\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CH\cdot CF=CD\cdot CB\)

Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

\(\widehat{DBH}\) chung

Do đó: ΔBDH~ΔBEC

=>\(\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\)

=>\(BH\cdot BE=BD\cdot BC\)

\(CH\cdot CF+BH\cdot BE\)

\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC\)

\(=BC\left(BD+CD\right)=BC^2\)