a: Xét (O) có
\(\widehat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
Do đó: \(\widehat{CBM}=\widehat{CAM}\)
mà \(\widehat{CAM}=\widehat{EBC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)
nên \(\widehat{HBC}=\widehat{MBC}\)
=>BC là phân giác của góc HBM
b: Xét tứ giác AFHE có \(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AFHE là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BDHF có \(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BDHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CDHE có \(\widehat{CDH}+\widehat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CDHE là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{FDH}=\widehat{FBH}\)(BFHD nội tiếp)
\(\widehat{EDH}=\widehat{ECH}\)(EHDC nội tiếp)
mà \(\widehat{FBH}=\widehat{ECH}\left(=90^0-\widehat{BAC}\right)\)
nên \(\widehat{FDH}=\widehat{EDH}\)
=>DH là phân giác của góc FDE
Ta có: \(\widehat{EFH}=\widehat{EAH}\)(AEHF nội tiếp)
\(\widehat{DFH}=\widehat{DBH}\)(BFHD nội tiếp)
mà \(\widehat{EAH}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)
nên \(\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\)
=>FH là phân giác của góc DFE
Xét ΔDFE có
FH,DH là các đường phân giác
FH cắt DH tại H
Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDFE
c: Xét ΔBHM có
BD là đường cao
BD là đường phân giác
Do đó: ΔBHM cân tại B
=>BH=BM
Xét ΔBHC và ΔBMC có
BH=BM
\(\widehat{HBC}=\widehat{MBC}\)
BC chung
Do đó; ΔBHC=ΔBMC
=>\(\widehat{HCB}=\widehat{MCB}\)
=>\(sđ\stackrel\frown{MB}=sđ\stackrel\frown{PB}\)
Xét (O) có
\(\widehat{PNB}\) là góc nội tiếp chắn cung PB
\(\widehat{MNB}\) là góc nội tiếp chắn cung BM
\(sđ\stackrel\frown{BM}=sđ\stackrel\frown{BP}\)
Do đó: \(\widehat{PNB}=\widehat{MNB}\)
=>NB là phân giác của góc PNM
