Cho tam giác ABC có góc A <90 độ. Trên cùng một phía của đường thẳng AB có chứa điểm C, kẻ tia Ax vuông góc với AB và tia Ay vuông góc với AC. Trên hai tia Ax, Ay theo thứ tự lấy hai điểm D,E sao cho AD=AB, AE=AC.
a) Chứng minh tam giác ABC= tam giác ADE
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và DE. Chứng minh tam giác AMC= tam giác ANE
c) Chứng minh AM vuông góc với AN
a,
Do AD ⊥ AB tại A ⇒ \(\widehat{BAD}=90^o\Rightarrow\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=90^o\)
Do AE ⊥ AC tại A ⇒ \(\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{CAD}+\widehat{DAE}=90^o\)
Như vậy, \(\widehat{BAC}=\widehat{DAE}\)
Xét ΔABC và ΔADE có:
AB = AD
\(\widehat{BAC}=\widehat{DAE}\)
AC = AE
⇒ ΔABC = ΔADE (c-g-c) (đpcm)
b,
Do M, N lần lượt là trung điểm cạnh BC, DE ⇒ \(MC=\dfrac{BC}{2};NE=\dfrac{DE}{2}\)
Do ΔABC = ΔADE ⇒ BC = DE (2 cạnh tương ứng), \(\widehat{ACB}=\widehat{AED}\) (2 góc tương ứng)
Như vậy, \(MC=NE;\widehat{ACM}=\widehat{AEN}\)
Xét ΔAMC và ΔANE có:
MC = NE
\(\widehat{ACM}=\widehat{AEN}\)
AC = AE
⇒ ΔAMC = ΔANE (c-g-c) (dpcm)
c,
Do ΔAMC = ΔẢNE ⇒ \(\widehat{MAC}=\widehat{NAE}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{CAN}+\widehat{NAE}=90^o\)
Như vậy, \(\widehat{CAN}+\widehat{MAC}=90^o\) \(\Rightarrow\widehat{MAN}=90^o\Rightarrow AM\perp AN\left(dpcm\right)\)
