Cho tam giác ABC có góc A = 90 độ, AB = 80cm, AC = 60cm, AH là đường cao, AI là phân giác (H và I thuộc BC)
a)Tính BC,AH,BI,CI
b)Chứng minh: tam giác ABC và tam giác HAC đồng dạng
c)HM và HN là phân giác của tam giác ABH và tam giác ACH. Chứng minh: tam giác MAH và tam giác NCH đồng dạng
d)Chứng minh: tam giác ABC và tam giác HMN đồng dạng rồi chứng minh tam giác MAN vuông cân
e)Phân giác của góc ACB cắt HN tại E, phân giác của góc ABC cắt HM tại F. Chứng minh EF//MN
f) Chứng minh: BF . EC = AF . AE
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC=\sqrt{80^2+60^2}=100\left(cm\right)\)
Xét ΔHAB vuông tại H và ΔACB vuông tại A có
\(\widehat{HBA}\) chung
Do đó; ΔHAB~ΔACB
=>\(\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{AB}{CB}\)
=>\(HA=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{60\cdot80}{100}=48\left(cm\right)\)
Xét ΔABC có AI là phân giác
nên \(\dfrac{BI}{AB}=\dfrac{CI}{AC}\)
=>\(\dfrac{BI}{80}=\dfrac{CI}{60}\)
=>\(\dfrac{BI}{4}=\dfrac{CI}{3}\)
mà BI+CI=BC=100cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{BI}{4}=\dfrac{CI}{3}=\dfrac{BI+CI}{4+3}=\dfrac{100}{7}\)
=>\(BI=4\cdot\dfrac{100}{7}=\dfrac{400}{7}\left(cm\right);CI=3\cdot\dfrac{100}{7}=\dfrac{300}{7}\left(cm\right)\)
b: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có
\(\widehat{ACB}\) chung
Do đó: ΔACB~ΔHCA
c:
HM là phân giác của góc AHB
=>\(\widehat{AHM}=\widehat{BHM}=\dfrac{\widehat{AHB}}{2}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)
HN là phân giác của góc AHC
=>\(\widehat{AHN}=\widehat{CHN}=\dfrac{\widehat{AHC}}{2}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)
Xét ΔMAH và ΔNCH có
\(\widehat{MAH}=\widehat{NCH}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)
\(\widehat{MHA}=\widehat{NHC}\left(=45^0\right)\)
Do đó: ΔMAH~ΔNCH
d:
\(\widehat{MHN}=\widehat{MHA}+\widehat{NHA}=45^0+45^0=90^0\)
ΔMAH~ΔNCH
=>\(\dfrac{HM}{HN}=\dfrac{HA}{HC}\)
ΔACB~ΔHCA
=>\(\dfrac{HA}{AB}=\dfrac{HC}{AC}\)
=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{HM}{HN}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{HM}{AB}=\dfrac{HN}{AC}\)
Xét ΔHMN vuông tại H và ΔABC vuông tại A có
\(\dfrac{HM}{AB}=\dfrac{HN}{AC}\)
Do đó: ΔHMN~ΔABC
Xét tứ giác NAMH có \(\widehat{NAM}+\widehat{NHM}=90^0+90^0=180^0\)
nên NAMH là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{ANM}=\widehat{AHM}=45^0\)
Xét ΔAMN vuông tại A có \(\widehat{ANM}=45^0\)
nên ΔAMN vuông cân tại A
