Question

Cho tam giác ABC có độ dài ba đường trung tuyến 15,18,27. A,Tính a²+b²+c² B,Tính độ dài các cạnh

Answer 1

a, Giả sử \(m_a=15;m_b=18;m_c=27\)

Theo công thức trung tuyến:

\(\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=m_a\left(1\right)\)

\(\dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{4}=m_b\)

\(\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}=m_c\)

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên:

\(\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}=m_a+m_b+m_c=60\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=80\)

b, \(a^2+b^2+c^2=80\Rightarrow b^2+c^2=80-a^2\)

Khi đó \(\left(1\right)\) tương đương:

\(\dfrac{2\left(80-a^2\right)-a^2}{4}=15\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\)

Tương tự ta được \(b=\dfrac{2\sqrt{66}}{3};c=\dfrac{2\sqrt{39}}{13}\)

Vậy độ dài các cạnh lần lượt là \(\dfrac{10\sqrt{3}}{3};\dfrac{2\sqrt{66}}{3};\dfrac{2\sqrt{39}}{13}\)