Question

Cho tam giác ABC có cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi I là trung điểm của BC, O là giao điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm O,A,I thẳng hàng

Answer 1

Xét ΔAEB và ΔADC có

AE=AD

\(\widehat{EAB}=\widehat{DAC}\)(hai góc đối đỉnh)

AB=AC

Do đó: ΔAEB=ΔADC

=>EB=DC và \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD};\widehat{AEB}=\widehat{ADC}\)

Ta có: EA+AC=EC

DA+AB=DB

mà EA=DA và AC=AB

nên EC=DB

Xét ΔEBC và ΔDCB có

BC chung

EB=DC

EC=DB

Do đó: ΔEBC=ΔDCB

=>\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)

=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

=>OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra O,A,I thẳng hàng