Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) với dây BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
1) c/m: tg BFEC nội tiếp
2) c/m: tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC.
3) Biết SABC = 60cm^2; Góc BAC = 60 độ. Tính diện tích tam giác AEF.
4) Tia BE cắt đường tròn (O) tại M. c/m: AM có độ lớn không đổi, từ đó tìm vị trí của điểm A để chu vi tam giác EAM lớn nhất.
1: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
2: ta có: BEFC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)
mà \(\widehat{FEC}+\widehat{AEF}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
3: Xét ΔAEB vuông tại E có \(cosA=\dfrac{AE}{AB}\)
=>\(\dfrac{AE}{AB}=cos60=\dfrac{1}{2}\)
ΔAEF~ΔABC
=>\(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
=>\(S_{AEF}=\dfrac{1}{4}\cdot60=15\left(cm^2\right)\)
