MixiGaming

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Chứng
minh rằng:
1) AP.AB = AH.AM = AN.AC 2) BP.BA = BH.BN = BM.BC
3) CN.CA = CH.CP = CM.CB 4) AP.AB + CM.CB = AC^2

1: XétΔAPH vuông tại P và ΔAMB vuông tại M có

\(\widehat{PAH}\) chung

Do đó: ΔAPH~ΔAMB

=>\(\dfrac{AP}{AM}=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(AP\cdot AB=AH\cdot MA\left(1\right)\)

Xét ΔANH vuông tại N và ΔAMC vuông tại M có

\(\widehat{NAH}\) chung

Do đó: ΔANH~ΔAMC

=>\(\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AH}{AC}\)

=>\(AN\cdot AC=AH\cdot AM\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AP\cdot AB=AH\cdot AM=AN\cdot AC\)

2: Xét ΔBPH vuông tại P và ΔBNA vuông tại N có

\(\widehat{PBH}\) chung

Do đó; ΔBPH~ΔBNA

=>\(\dfrac{BP}{BN}=\dfrac{BH}{BA}\)

=>\(BP\cdot BA=BH\cdot BN\left(3\right)\)

Xét ΔBMH vuông tại M và ΔBNC vuông tại N có

\(\widehat{MBH}\) chung

Do đó: ΔBMH~ΔBNC

=>\(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{BH}{BC}\)

=>\(BM\cdot BC=BH\cdot BN\)(4)

Từ (3),(4) suy ra \(BP\cdot BA=BH\cdot BN=BM\cdot BC\)

3: Xét ΔCNH vuông tại N và ΔCPA vuông tại P có

\(\widehat{NCH}\) chung

Do đó: ΔCNH~ΔCPA

=>\(\dfrac{CN}{CP}=\dfrac{CH}{CA}\)

=>\(CN\cdot CA=CH\cdot CP\left(5\right)\)

Xét ΔCMH vuông tại M và ΔCPB vuông tại P có

\(\widehat{MCH}\) chung

Do đó: ΔCMH~ΔCPB

=>\(\dfrac{CM}{CP}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CM\cdot CB=CH\cdot CP\left(6\right)\)

Từ (5),(6) suy ra \(CN\cdot CA=CH\cdot CP=CM\cdot CB\)

4: \(AP\cdot AB+CM\cdot CB\)

\(=AN\cdot AC+CN\cdot CA=AC^2\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Xuân Trà
Xem chi tiết
Xuân Trà
Xem chi tiết
Dragon
Xem chi tiết
Vu Ngoc Mai
Xem chi tiết
Nhân Tâm
Xem chi tiết
Đinh Hương
Xem chi tiết
Nguyễn Mai Hà Anh
Xem chi tiết
Minh Nguyễn
Xem chi tiết
Như
Xem chi tiết
ctam_17
Xem chi tiết