Question

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng
minh rằng:
1) tam giác AHF đồng dạng với tam giác ABD 2) tam giác ACF đồng dạng với tam giác ABE
3) AF.AB = AE.AC 4) tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC
5) tam giác ADB đồng dạng với tam giác CDH 6) BH.BE + CH.CF = BC^2

Answer 1

1: Xét ΔAFH vuông tại F và ΔADB vuông tại D có

\(\widehat{FAH}\) chung

Do đó: ΔAFH~ΔADB

2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

3: Ta có: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)

4: Ta có: \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

5: Xét ΔADB vuông tại D và ΔCDH vuông tại D có

\(\widehat{DAB}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{ABD}\right)\)

Do đó: ΔADB~ΔCDH

6: Xét ΔBDH vuông tại D và ΔBEC vuông tại E có

\(\widehat{DBH}\) chung

Do đó: ΔBDH~ΔBEC

=>\(\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\)

=>\(BH\cdot BE=BD\cdot BC\)

Xét ΔCDH vuông tại D và ΔCFB vuông tại F có

\(\widehat{DCH}\) chung

Do đó: ΔCDH~ΔCFB

=>\(\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{CH}{CB}\)

=>\(CH\cdot CF=DC\cdot CB\)

\(BH\cdot BE+CH\cdot CF\)

\(=BD\cdot BC+CD\cdot BC\)

\(=BC\left(BD+CD\right)=BC^2\)