Cho tam giác ABC có AB < BC < CA. Kẻ các đường cao BD, CE.
a) Chứng minh bốn điểm B, C, E, D cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh DE < BC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. P, Q, R thứ tự là trung điểm AB, BC, CA. Hãy so sánh OP, OQ, OR
(Giúp mình câu b, c với ạ. Mình cảm ơn nhiều ạ.)
a: Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
nên BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>B,E,D,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (BC/2) có
BC là đường kính
DE là dây
Do đó: DE<BC
c: Xét (O) có
AB,BC,CA là các dây
AB<BC<CA
OP,OQ,OR lần lượt là khoảng cách từ O đến các dây AB,BC,CA
Do đó: OP>OQ>OR
a) Ta có :
\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\) (\(BD;CE\) là các đường cao)
mà Hai góc này cùng chắn \(\stackrel\frown{BC}\) trong đường tròn đường kính \(BC\)
\(\Rightarrow\) bốn điểm \(B;C;D;E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\left(đpcm\right)\)
b) Ta có: \(DE< DC+CE\) (bất đẳng thức tam giác)
mà \(DC< BC\) và \(CE< BC\) (do \(BC\) là cạnh lớn nhất trong \(\Delta ABC\))
\(\Rightarrow DE< BC\left(đpcm\right)\)
c) Trong \(\Delta ABC\), ta có:
\(OP\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AB\) (\(P\) là trung điểm \(AB\))
\(OQ\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) (\(Q\) là trung điểm \(BC\))
\(OR\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(CA\) (\(R\) là trung điểm \(CA\))
mà \(AB< BC< CA\)
\(\Rightarrow\) trung tuyến \(OR\) ứng với cạnh lớn nhất \(CA\) sẽ dài nhất
Tương tự, \(OP;OQ\) là trung tuyến ứng với cạnh nhỏ \(AB;BC\) nên sẽ ngắn hơn
Vậy \(OP< OQ< OR\left(dpcm\right)\)
