Question

Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G. Trên các đoạn AD,BE,CF lấy lần lượt các điểm M,N,P sao cho AM/AD=BN/BE=CP/CF=1/3.

a, cm M,N,P lần lượt là trung điểm của AG,BG,CG

b, CM tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC

Answer 1

a: Xét ΔABC có

AD,BE,CF là các đường trung tuyến

AD,BE,CF cắt nhau tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(AG=\dfrac{2}{3}AD;BG=\dfrac{2}{3}BE;CG=\dfrac{2}{3}CF\)

Ta có: \(AG=\dfrac{2}{3}AD\)

mà \(AM=\dfrac{1}{3}AD\)

nên AM=1/2GA

=>M là trung điểm của AG

Ta có: \(BG=\dfrac{2}{3}BE\)

mà \(BN=\dfrac{1}{3}BE\)

nên \(BN=\dfrac{1}{3}BG\)

=>N là trung điểm của BG

Ta có: \(CG=\dfrac{2}{3}CF\)

mà \(CP=\dfrac{1}{3}CF\)

nên \(CP=\dfrac{1}{2}CG\)

=>P là trung điểm của CG

b: Xét ΔGAB có

M,N lần lượt là trung điểm của GA,GB

=>MN là đường trung bình của ΔGAB

=>\(MN=\dfrac{1}{2}AB\)

Xét ΔGAC có

M,P lần lượt là trung điểm của GA,GC

=>MP là đường trung bình của ΔGAC

=>\(MP=\dfrac{1}{2}AC\)

Xét ΔBCG có

N,P lần lượt là trung điểm của GB,GC

=>NP là đường trung bình của ΔBCG

=>\(NP=\dfrac{BC}{2}\)

Xét ΔMNP và ΔABC có

\(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{NP}{BC}=\dfrac{MP}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó: ΔMNP~ΔABC