Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
a) Chứng minh ΔAHB = ΔAHC
b) Đường trung tuyến BM của ΔABC cắt AH tại E. Từ H vẽ đường thẳng song song với AC, đường
thẳng này cắt AB tại N. Chứng minh ba điểm N, E, C thẳng hàng.
c)Trên tia HN lấy điểm K sao cho NH=NK. Gọi I là trung điểm KC. Chứng minh I nằm trên AH
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
AB=AC
AH chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHC
b: Ta có:ΔAHB=ΔAHC
=>\(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\)
mà \(\widehat{HAC}=\widehat{NHA}\)(hai góc so le trong, NH//AC)
nên \(\widehat{NHA}=\widehat{NAH}\)
=>NA=NH
Ta có: \(\widehat{NHA}+\widehat{NHB}=\widehat{AHB}=90^0\)
\(\widehat{NAH}+\widehat{NBH}=90^0\)
mà \(\widehat{NHA}=\widehat{NAH}\)
nên \(\widehat{NHB}=\widehat{NBH}\)
=>NH=NB
mà NA=NH
nên NA=NB
=>N là trung điểm của AB
ΔABH=ΔACH
=>BH=CH
=>H là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
BM,AH là các đường trung tuyến
BM cắt AH tại E
Do đó: E là trọng tâm của ΔABC
Xét ΔABC có
E là trọng tâm
CN là đường trung tuyến
Do đó: C,E,N thẳng hàng
c: Xét tứ giác AHBK có
N là trung điểm chung của AB và KH
nên AHBK là hình bình hành
=>AK//BH và AK=BH
ta có: AK=BH
BH=CH
Do đó: AK=CH
ta có: AK//BH
H\(\in\)BC
Do đó:AK//HC
Xét tứ giác AKHC có
AK//HC
AK=HC
Do đó: AKHC là hình bình hành
=>AH cắt KC tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của KC
nên I là trung điểm của AH
=>I nằm trên AH
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
$-$ AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và AH = AH.
$\Rightarrow$ Do đó, ta có ΔAHB = ΔAHC (theo định lý cạnh góc cạnh).
b) Vì BM là đường trung tuyến của ΔABC nên ME = 1/2 MH.
$-$ Vì NH // AC và M là trung điểm của BC nên MN = 1/2 MH = ME.
$-$ Do đó, E là trung điểm của đoạn thẳng MN.
$\Rightarrow$ Theo định lý về đường trung tuyến trong tam giác, ta có N, E, C thẳng hàng.
c) Vì NH = NK và I là trung điểm của KC nên HI = IK.
$-$ Do đó, I là trung điểm của HK.
$\Rightarrow$ Vì H, I, A thẳng hàng nên I nằm trên AH.
