Question

Cho tam giác ABC cân tại A đường cao AH . Trên cạnh AB ,AC lần lượt lấy I, K sao cho AI=AK .Chứng minh rằng I đối xứng K qua AH 

 

Answer 1

Gọi giao điểm của IK và AH là O.

Vì ΔABC cân tại A và AH là đường cao
=> AH đồng thời cũng là tia phân giác của ΔABC
hay AO là tia phân giác của \(\widehat{IAK}\)
=> \(\widehat{IAO}=\widehat{OAK}\)

Xét ΔAIO và ΔAKO có: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=AK\left(gt\right)\\\widehat{IAO}=\widehat{KAO}\\AO chung\end{matrix}\right.\)
=> ΔAIO = ΔAKO(c.g.c)
=>IO=KO(2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAIK cân tại A (AI=AK) có AO là đường trung tuyến 
=> AO là đương trung trực của \(\Delta\) AIK
=> I đối xứng với K qua AH

=>đpcm

 

Answer 2

Ta có: AI+IB=AB(I nằm giữa A và B)

AK+KC=AC(K nằm giữa A và C)

mà AI=AK(gt)

và AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên IB=KC

Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

Do đó: ΔABH=ΔACH(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: BH=CH(Hai cạnh tương ứng)

Xét ΔIBH và ΔKCH có 

IB=KC(cmt)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(ΔBAC cân tại A)

BH=CH(cmt)

Do đó: ΔIBH=ΔKCH(c-g-c)

Suy ra: HI=HK(Hai cạnh tương ứng)

Ta có: AI=AK(gt)

nên A nằm trên đường trung trực của IK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: HI=HK(cmt)

nên H nằm trên đường trung trực của IK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của IK

hay I đối xứng với K qua AH(đpcm)

Answer 3

   Vì tam giác ABC cân tại A và AH là đường cao nên cũng là tia phân giác

=> AH là tia phân giác góc A

   Vì tam giác AIK cân tại A và AH là tia phân giác góc A nên AH là đường trung trực của IK

VẬY I đối xứng với K qua AH