Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH(H thuộc BC). Kẻ HM vuông góc với AB tại M, HN vuông góc với AC tại N. a) Chứng minh tam giác AMN cân. b) Vẽ điểm P sao cho điểm H là trung điểm của đoạn thẳng NP. Chứng minh đường thẳng BC là đường trung trực của đoạn thẳng MP. c) Biết MP cắt BC tại điểm K, NK cắt MH tại điểm D. Chứng minh ba đường thẳng AH,MN,DP cùng đi qua một điểm (đồng quy).
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
AB=AC
AH chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHC
=>HB=HC và \(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\)
Xét ΔAMH vuông tại M và ΔANH vuông tại N có
AH chung
\(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\)
Do đó: ΔAMH=ΔANH
=>AM=AN
=>ΔAMN cân tại A
b:
ΔAMH=ΔANH
=>HM=HN
mà HN=HP
nên HM=HP
Ta có: AM+MB=AB
AN+NC=AC
mà AM=AN và AB=AC
nên MB=NC
Xét ΔMBH vuông tại M và ΔNCH vuông tại N có
BH=CH
MB=NC
Do đó: ΔMBH=ΔNCH
=>\(\widehat{MHB}=\widehat{NHC}\)
mà \(\widehat{NHC}=\widehat{BHP}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{MHB}=\widehat{PHB}\)
Xét ΔBMH và ΔBPH có
HM=HP(=HN)
\(\widehat{MHB}=\widehat{PHB}\)
HB chung
Do đó: ΔBMH=ΔBPH
=>BM=BP
=>B nằm trên đường trung trực của MP(1)
Ta có: HM=HP
=>H nằm trên đường trung trực của MP(2)
Từ (1),(2) suy ra BH là đường trung trực của MP
c: BH là đường trung trực của MP
=>BH\(\perp\)MP tại K và K là trung điểm của MP
Gọi E là giao điểm của MN và AH
Ta có: AM=AN
=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)
Ta có: HM=HN
=>H nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1),(2) suy ra AH là đường trung trực của MN
=>AH\(\perp\)MN tại E và E là trung điểm của MN
Xét ΔPMN có
NK,MH là các đường trung tuyến
NK cắt MH tại D
Do đó: D là trọng tâm của ΔPMN
mà E là trung điểm của MN
nên P,D,E thẳng hàng
=>DP,MN,AH đồng quy tại E
ê thịnh câu b hỏi cmr:bc là trung trực cơ
