Question

cho số thực a. Biết pt $z^4+az^2+1=0$ có 4 nghiệm $z_1,z_2,z_3,z_4$ thỏa mãn $(z_1^2+4)(z_2^2+4)(z_3^2+4)(z_4^2+4)=441$. Tính a

Answer 1

Đặt \(t=z^2\), ta có phương trình \(t^2+at+1=0 \qquad (1)\)

\(\Delta =a^2-4\)

PT đã cho có 4 nghiệm \(\Leftrightarrow\) (1) phải có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta\ne 0\Leftrightarrow a\ne \pm2\)

Khi đó (1) có nghiệm \(t=\dfrac{-a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}\).

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử: \(z_1=z_3;z_2=z_4\)

Khi đó ta có:

\([(z_1^2+4)(z_2^2+4)]^2=441\\ \Leftrightarrow \left(\dfrac{-a+\sqrt{a^2-4}}{2}+4\right)\left(\dfrac{-a-\sqrt{a^2-4}}{2}+4\right)=441\)

\(\Leftrightarrow (-a+8)^2-(a^2-4)=4.441\\ \Leftrightarrow -16a+68=1764\\ \Leftrightarrow a=-106\)