Question

Cho PT: \(x^2-\left(2m+3\right)x-2m-4=0\). Tìm m để PT có 2 nghiệm x1, x2 sao cho lx1l + lx2l = 5 

Answer 1

Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta=(2m+3)^2+4(2m+4)\geq 0$

$\Leftrightarrow 4m^2+20m+25\geq 0$

$\Leftrightarrow (2m+5)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2m+3$

$x_1x_2=-(2m+4)$

Khi đó:
$|x_1|+|x_2|=5$
$\Leftrightarrow (|x_1|+|x_2|)^2=25$

$\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2|x_1x_2|=25$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2|x_1x_2|=25$

$\Leftrightarrow (2m+3)^2+2(2m+4)+2|2m+4|=25$

$\Leftrightarrow 4m^2+16m+2|2m+4|=8$

$4m(m+4)+4|m+2|=8$

$\Leftrightarrow m(m+4)+|m+2|=2$

Nếu $m\geq -2$ thì pt trở thành: $m^2+5m=0\Rightarrow m=0$

Nếu $m< -2$ thì pt trở thành: $m^2+3m-4=0$

$\Rightarrow m=-4$

Answer 2

Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta=(2m+3)^2+4(2m+4)\geq 0$

$\Leftrightarrow 4m^2+20m+25\geq 0$

$\Leftrightarrow (2m+5)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2m+3$

$x_1x_2=-(2m+4)$

Khi đó:
$|x_1|+|x_2|=5$
$\Leftrightarrow (|x_1|+|x_2|)^2=25$

$\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2|x_1x_2|=25$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2|x_1x_2|=25$

$\Leftrightarrow (2m+3)^2+2(2m+4)+2|2m+4|=25$

$\Leftrightarrow 4m^2+16m+2|2m+4|=8$

$4m(m+4)+4|m+2|=8$

$\Leftrightarrow m(m+4)+|m+2|=2$

Nếu $m\geq -2$ thì pt trở thành: $m^2+5m=0\Rightarrow m=0$

Nếu $m< -2$ thì pt trở thành: $m^2+3m-4=0$

$\Rightarrow m=-4$