Question

cho pt \(x^2-2\left(m+2\right)x+m+1=0\)(m là tham số). Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1x_2\) thỏa mãn hệ thức \(x_1\left(1-2x_2\right)+x_2\left(1-2x_1\right)=m^2\)

Answer 1

Lời giải:

Ta thấy:

\(\Delta'=(m+2)^2-(m+1)=m^2+3m+3=(m+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}>0, \forall m\in\mathbb{R}\)

Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$

Với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt, áp dụng định lý Vi-et:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+2)\\ x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

Khi đó:
\(x_1(1-2x_2)+x_2(1-2x_1)=m^2\)

\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)-4x_1x_2=m^2\)

\(\Leftrightarrow 2(m+2)-4(m+1)=m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m=0\Leftrightarrow m(m+2)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} m=0\\ m=-2\end{matrix}\right.\)