(a) \(\Delta=m^2-4\left(2m-7\right)=\left(m-4\right)^2+12>0\).
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)
Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-m\left(1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-7\left(2\right)\end{matrix}\right.\).
\(x_2\) là nghiệm của phương trình nên:
\(x_2^2+mx_2+2m-7=0\Leftrightarrow x_2^2=7-2m-mx_2\).
Thay vào đề: \(9x_1=7-2m-mx_2\Leftrightarrow9x_1+mx_2=7-2m\left(3\right)\).
Từ \(\left(1\right),\left(3\right)\Rightarrow x_2=\dfrac{7m+7}{m-9}\underrightarrow{\left(1\right)}x_1=\dfrac{-m^2+2m-7}{m-9}\)
Thay vào \(\left(2\right)\Rightarrow7\left(m+1\right)\left(-m^2+2m-7\right)=\left(2m-7\right)\left(m-9\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-9m^3+50m^2-323m+518=0\).
Giải phương trình, tìm được: \(m=2\).
(b) Phương trình có nghiệm hữu tỉ khi: \(\Delta=\left(m-4\right)^2+12=u^2\left(u\in Z\right)\)
Do \(m\) là số nguyên lẻ, suy ra \(u\) sẽ là số nguyên lẻ và \(\left(m-4+u\right)\left(m-4-u\right)=-12\)
Dễ thấy được vế trái là tích của các số nguyên chẵn. Trường hợp xảy ra duy nhất là tích của hai bộ số \(\left(-2\right),6\) và \(2,\left(-6\right)\).
Xét cặp \(\left(-2\right),6\): \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m-4+u=-2\\m-4-u=6\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m-4+u=6\\m-4-u=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\).
Trường hợp đầu thu được \(m=2,u=4\) (loại), trường hợp 2 thu được: \(m=6,u=4\) (loại). Tương tự với cặp \(2,\left(-6\right)\) cũng không tìm được cặp số \(\left(m;u\right)\) thỏa mãn điều kiện là số nguyên lẻ.
Vậy: Phương trình không có nghiệm hữu tỉ khi \(m\) là số nguyên lẻ (đpcm).
