Cho (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A lấy điểm C (C không trùng với A). Từ C kẻ đường tiếp tuyến thứ 2 CD với (O) và cát tuyến CMN với (O) (M nằm giữa N và C). Gọi H là giao điểm của AD và CO.
a) CMR: 4 điểm C, A, O, D cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Chứng minh: CH.CO = CM.CN
c) Tiếp tuyến tại M của đường tròn tâm O cắt CA và CD lần lượt ở E và F. Đường thẳng vuôn góc với Co tại O cắt CA và CD thứ tự tại P và Q. Chứng minh rằng PE + PQ >= PQ.
d,CMR: EP.FQ=OP^2
a: Xét tứ giác CAOD có \(\widehat{CAO}+\widehat{CDO}=90^0+90^0=180^0\)
nên CAOD là tứ giác nội tiếp
=>C,A,O,D cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
\(\widehat{CAM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung AM
\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM
Do đó: \(\widehat{CAM}=\widehat{ANM}\)
Xét ΔCAM và ΔCNA có
\(\widehat{CAM}=\widehat{CNA}\)
\(\widehat{ACM}\) chung
Do đó: ΔCAM~ΔCNA
=>\(\dfrac{CA}{CN}=\dfrac{CM}{CA}\)
=>\(CA^2=CM\cdot CN\)(3)
Xét (O) có
CA,CD là các tiếp tuyến
Do đó: CA=CD
=>C nằm trên đường trung trực của AD(1)
Ta có: OA=OD
=>O nằm trên đường trung trực của AD(2)
Từ (1) và (2) suy ra CO là đường trung trực của AD
=>CO\(\perp\)AD tại H và H là trung điểm của AD
Xét ΔCAO vuông tại A có AH là đường cao
nên \(CH\cdot CO=CA^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(CH\cdot CO=CM\cdot CN\)
