Cho (O) đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A và B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B và C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E, tia AC cắt BE tại F.
a) Cm tứ giác FCDE nội tiếp.
b) Cm DA × DE = DB × DC.
c) Cm góc CFD = góc OCB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, cm IC là tiếp tuyến của (O).
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔBCA vuông tại C
=>BC\(\perp\)FA tại C
Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
=>AE\(\perp\)FB tại E
Xét ΔFAB có
AE,BC là các đường cao
AE cắt BC tại D
Do đó: D là trực tâm của ΔFAB
=>FD\(\perp\)AB tại H
Xét tứ giác FCDE có \(\widehat{FCD}+\widehat{FED}=90^0+90^0=180^0\)
nên FCDE là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔDCA vuông tại C và ΔDEB vuông tại E có
\(\widehat{CDA}=\widehat{EDB}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDCA~ΔDEB
=>\(\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DA}{DB}\)
=>\(DC\cdot DB=DE\cdot DA\)
c: ta có: \(\widehat{CFD}+\widehat{FAH}=90^0\)(ΔFHA vuông tại H)
\(\widehat{CBA}+\widehat{CAB}=90^0\)(ΔCAB vuông tại C)
Do đó: \(\widehat{CFD}=\widehat{CBA}=\widehat{OCB}\)
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE
=>I là trung điểm của FD
=>IC=ID
=>ΔICD cân tại I
\(\widehat{OCI}=\widehat{OCB}+\widehat{BCI}\)
\(=\widehat{OBC}+\widehat{IDC}\)
\(=\widehat{OBC}+\widehat{HDB}=90^0\)
=>IC là tiếp tuyến của (O)
