Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn tâm O (F là tiếp điểm), Tia AF cắt tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn tâm O tại D (Tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng BC chứa nửa đường tròn tâm O). Gọi H là giao điểm của BF với DO, K là giao điểm thứ 2 của DC với nửa đường tròn tâm O.
a) Chứng minh: bốn điểm O,B,D,F cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh: DH×DO = DK×DC
a: Xét tứ giác OBDF có \(\widehat{OBD}+\widehat{OFD}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBDF là tứ giác nội tiếp
=>O,B,D,F cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
DB,DF là các tiếp tuyến
Do đó: DB=DF
=>D nằm trên đường trung trực của BF(1)
Ta có: OB=OF
=>O nằm trên đường trung trực của BF(2)
Từ (1),(2) suy ra DO là đường trung trực của BF
=>DO\(\perp\)BF tại H
Xét (O) có
ΔBKC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBKC vuông tại K
=>BK\(\perp\)DC tại K
Xét ΔDBO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(DH\cdot DO=DB^2\left(3\right)\)
Xét ΔDBC vuông tại B có BK là đường cao
nên \(DK\cdot DC=DB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(DH\cdot DO=DK\cdot DC\)
