Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, dựng các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Lấy một điểm M trên nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By lần lượt tại D, C tia AM, BM kéo dài cắt By, Ax lần lượt tại F, E.
1) Chứng minh
a)(2 điểm) 4 điểm D; M; O; A và 4 điểm C; M; O; B cùng nằm
trên một đường tròn
b)(2 điểm) Tam giác COD vuông
c)(1 điểm) D là trung điểm của AE
d)(1 điểm) ∆CBO đồng dạng với ∆BAE
e)(1 điểm) AD.BC=R^2 , AD+BC=CD
2)(1 điểm) Dựng MH ⊥ AB, chứng minh AC, BD đi
qua trung điểm I của MH
3)(1 điểm) Chứng minh: EO ⊥ AC
1:
a: Xét tứ giác DMOA có \(\widehat{DMO}+\widehat{DAO}=90^0+90^0=180^0\)
nên DMOA là tứ giác nội tiếp
=>D,M,O,A cùng thuộc một đường tròn
Xét tứ giác CMOB có \(\widehat{CMO}+\widehat{CBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên CMOB là tứ giác nội tiếp
=>C,M,O,B cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
DM,DA là các tiếp tuyến
Do đó: OD là phân giác của góc MOA
=>\(\widehat{MOD}=\dfrac{\widehat{MOA}}{2}\)
Xét (O) có
CM,CB là các tiếp tuyến
Do đó: OC là phân giác của góc MOB
=>\(\widehat{MOC}=\dfrac{\widehat{MOB}}{2}\)
Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\left(\widehat{MOD}+\widehat{MOC}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{DOC}=180^0\)
=>\(\widehat{DOC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
=>ΔDOC vuông tại O
c: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM\(\perp\)BE tại M và BM\(\perp\)AF tại M
Xét (O) có
DA,DM là các tiếp tuyến
Do đó: DA=DM
=>ΔDAM cân tại D
Ta có: \(\widehat{MAD}+\widehat{MEA}=90^0\)(ΔEMA vuông tại M)
\(\widehat{DMA}+\widehat{DME}=\widehat{EMA}=90^0\)
mà \(\widehat{DAM}=\widehat{DMA}\)(ΔDAM cân tại D)
nên \(\widehat{DEM}=\widehat{DME}\)
=>DE=DM
=>DE=DA
=>D là trung điểm của AE
d: Xét (O) có
CM,CB là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CB
=>C nằm trên đường trung trực của MB(1)
Ta có: OM=OB
=>O nằm trên đường trung trực của MB(2)
Từ (1),(2) suy ra CO là đường trung trực của BM
=>CO\(\perp\)BM
mà BM\(\perp\)MA
nên CO//MA
=>\(\widehat{COB}=\widehat{MAB}\)
mà \(\widehat{MAB}=\widehat{AEB}\left(=90^0-\widehat{MBA}\right)\)
nên \(\widehat{COB}=\widehat{AEB}\)
Xét ΔCBO vuông tại B và ΔBAE vuông tại A có
\(\widehat{COB}=\widehat{BEA}\)
Do đó: ΔCBO~ΔBAE
e:
Xét ΔDOC vuông tại O có OM là đường cao
nên \(OM^2=MD\cdot MC\)
=>\(R^2=AD\cdot CB\)
DM+MC=DC
mà DM=DA và CM=CB
nên DA+CB=DC
