Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và By với đường tròn (O) tại A
và B.
Trên tia Ax lấy điểm M bất kỳ, kẻ MB cắt đường tròn (O) tại C.
b, Chứng minh: 2 BC.MC AC mũ 2
c, Gọi N là trung điểm của AM. Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C.
d, Kéo dài NC cắt By tại D. Chứng minh góc NOD = 90 độ
e, Chứng minh: 2 AN.BD R mũ 2
f, Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác OND.
g, Chứng minh OM vuông góc với AD tại I.
h, Chứng minh 4 điểm A; M; C; I cùng thuộc đường tròn (N).
Đề lỗi rồi em, ví dụ câu b, 2 BC.MC AC mũ 2 là gì?
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C
b: Sửa đề: \(BC\cdot MC=AC^2\)
Xét ΔABM vuông tại A có AC là đường cao
nên \(CB\cdot CM=CA^2\)
c: ΔACM vuông tại C
mà CN là đường trung tuyến
nên NA=NC=NM
Xét ΔNAO và ΔNCO có
NA=NC
NO chung
AO=CO
Do đó: ΔNAO=ΔNCO
=>\(\hat{NAO}=\hat{NCO}\)
=>\(\hat{NCO}=90^0\)
=>NC là tiếp tuyến của (O)
d: Xét (O) có
DC,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DC=DB và OD là phân giác của góc BOC
OD là phân giác của góc BOC
=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{COD}\)
ΔNAO=ΔNCO
=>\(\hat{NOA}=\hat{NOC}\)
=>ON là phân giác của góc COA
=>\(\hat{COA}=2\cdot\hat{CON}\)
Ta có: \(\hat{BOC}+\hat{COA}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{CON}+\hat{COD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{NOD}=180^0\)
=>\(\hat{NOD}=90^0\)
e: Sửa đề: Chứng minh \(AN\cdot BD=R^2\)
Xét ΔOND vuông tại O có OC là đường cao
nên \(CN\cdot CD=OC^2\)
=>\(NA\cdot BD=OC^2=R^2\)
f: Gọi K là trung điểm của ND
=>K là tâm đường tròn đường kính ND
ΔNOD vuông tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK=KN=KD
=>K là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔNOD
Xét hình thang ABDN có
K,O lần lượt là trung điểm của ND,AB
=>KO là đường trung bình của hình thang ABDN
=>KO//AN//BD
=>KO⊥AB tại O
Xét (K) có
KO là bán kính
AB⊥KO tại O
Do đó: AB là tiếp tuyến của (K)
=>AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔODN
g:
\(\frac{BA}{AM}=\frac{2\cdot BO}{2\cdot AN}=\frac{BO}{AN}\)
\(BD\cdot AN=R^2\)
=>\(\frac{BD}{R}=\frac{R}{AN}\)
=>\(\frac{BD}{AO}=\frac{BO}{AN}\)
=>\(\frac{BD}{AO}=\frac{BA}{AM}\)
Xét ΔBAD vuông tại B và ΔAMO vuông tại A có
\(\frac{BA}{AM}=\frac{BD}{AO}\)
Do đó: ΔBAD~ΔAMO
=>\(\hat{BAD}=\hat{AMO}\)
mà \(\hat{BAD}+\hat{MAD}=\hat{BAM}=90^0\)
nên \(\hat{AMO}+\hat{MAD}=90^0\)
=>OM⊥AD tại I
h: xét tứ giác AICM có \(\hat{AIM}=\hat{ACM}=90^0\)
nên AICM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM
mà N là trung điểm của AM
nên A,M,C,I cùng thuộc đường tròn (N)
Lời giải:
Vì \(A B\) là đường kính của \(\left(\right. O \left.\right)\), nên theo định lý đường kính, góc \(\hat{A C B} = 90^{\circ}\).Cụ thể: điểm \(C\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có đường kính \(A B\), nên tam giác \(A C B\) vuông tại \(C\).
b) Chứng minh: \(2 \cdot B C \cdot M C = A C^{2}\)Phân tích:
\(M\) nằm trên tia tiếp tuyến \(A x\).\(M B\) cắt đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(C\).Ta cần chứng minh tích đoạn thẳng \(B C\) nhân với \(M C\) nhân 2 bằng bình phương đoạn \(A C\).Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng các tính chất về tiếp tuyến, đường kính và tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác, hoặc định lý Ptolemy, hoặc các hệ quả của tiếp tuyến và dây cung.
