Question

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm C thuộc nửa đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và tại C cắt nhau ở D. Đường trung trực của AB cắt AC ở E. Chứng minh rằng:
a) AE // OD;
b) OE = BD;
c) OEDB là hình chữ nhật;
d) OCED là hình thang cân.

Answer 1

a: Sửa đề: OD//AC

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại C

=>CA\(\perp\)CB

Xét (O) có

DC,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DC=DB

=>D nằm trên đường trung trực của CB(1)

Ta có: OC=OB

=>O nằm trên đường trung trực của CB(2)

Từ (1),(2) suy ra OD là đường trung trực của CB

=>OD\(\perp\)CB

mà CA\(\perp\)CB

nên OD//CA

b: Xét ΔEOA vuông tại O và ΔDBO vuông tại B có

OA=BO

\(\widehat{EAO}=\widehat{DOB}\)(hai góc đồng vị, OD//AC)

Do đó: ΔEOA=ΔDBO

=>EO=BD

c: Ta có: EO\(\perp\)AB

DB\(\perp\)AB

Do đó: EO//BD

Xét tứ giác EOBD có

EO//BD

EO=BD

Do đó: EOBD là hình bình hành

Hình bình hành EOBD có \(\widehat{EOB}=90^0\)

nên EOBD là hình chữ nhật

d: Ta có: EOBD là hình chữ nhật

=>ED=OB

mà OB=OC

nên ED=OC

Ta có: OD//AC

=>OD//EC

Xét tứ giác CEOD có

CE//OD

CO=ED

Do đó: CEOD là hình thang cân