Question

Cho n là số nguyên. Chứng minh rằng a) ( n^3 - n ) chia hết cho 3 b) (n^5 -n ) chia hết cho 50

Answer 1

a) \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) 

vì n, n-1, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\\ \Rightarrow\left(n^3-n\right)⋮3\)

b) \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\\ =n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì n-2, n-1, n, n+1, n+2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5 ⇒ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)⋮5

5⋮5⇒5(n-1)n(n+1)⋮5

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow n^5-n⋮5\)

Answer 2

a: Ta có: \(\left(n^3-n\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3\)