a: ABCD là hình thoi
=>\(\hat{A}=\hat{C}\)
=>\(\hat{C}=60^0\)
Xét ΔADB có AB=AD và \(\hat{BAD}=60^0\)
nên ΔABD đều
ΔABD đều
mà BM là đường trung tuyến
nên BM⊥AD tại M và BM là phân giác của góc ABD
Xét ΔCBD có CB=CD và \(\hat{DCB}=60^0\)
nên ΔCBD đều
ΔBCD đều
mà BN là đường trung tuyến
nên BN⊥CD tại N và BN là phân giác của góc DBC
BM là phân giác của góc ABD
=>\(\hat{MBD}=\frac12\cdot\hat{ABD}=\frac12\cdot60^0=30^0\)
BN là phân giác của góc DBC
=>\(\hat{NBD}=\frac12\cdot60^0=30^0\)
\(\hat{MBN}=\hat{MBD}+\hat{NBD}=30^0+30^0=60^0\)
Xét ΔBMA vuông tại M và ΔBNC vuông tại N có
BA=BC
\(\hat{BAM}=\hat{BCN}\)
Do đó: ΔBMA=ΔBNC
=>BM=BN
Xét ΔBMN có BM=BN và \(\hat{MBN}=60^0\)
nên ΔBMN đều
b: Xét ΔBMA vuông tại M có \(\sin BAM=\frac{BM}{BA}\)
=>\(\frac{BM}{4}=\sin60=\frac{\sqrt3}{2}\)
=>\(BM=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)
CHu vi tam giác BMN là:
\(C_{BMN}=BM+BN+MN=2\sqrt3+2\sqrt3+2\sqrt3=6\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)
Vì hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm, ta có thể xác định:
- Từ giả thiết: AB = AD = 4 cm, góc A = 60°
→ Tam giác ABD là tam giác cân có góc A = 60°, nên tam giác ABD là tam giác đều
→ Độ dài đường chéo BD được tính theo định lý cosine trong tam giác ABD:
- BD² = AB² + AD² – 2 × AB × AD × cos(60°)
= 16 + 16 – 2 × 4 × 4 × 0.5 = 32 – 16 = 16 → BD = √16 = 4 cm
- M là trung điểm của AD → AM = MD = 2 cm
- N là trung điểm của CD → CN = ND = 2 cm
Xét tam giác BMN:
- Dựa vào tính chất hình thoi và cách xác định điểm M, N → khoảng cách BM = BN = MN
⇒ Tam giác BMN có ba cạnh bằng nhau → Tam giác BMN là tam giác đều
Câu b
Giả sử độ dài BM = MN = NB = d
suy ra BM = 2 cm
→ Chu vi tam giác BMN = 3 × 2 = 6 cm
