Question

cho hình thang ABCD(AB//CD) có O là giao điểm AC và BD, I là giao điểm AD và BC. IO cắt AB và CD lần lượt tại M và N . CM: M và N lần lượt là trung điểm AB,CD

Answer 1

Xét ΔIDN có AM//DN

nên \(\frac{AM}{DN}=\frac{IM}{IN}\left(1\right)\)

Xét ΔINC có MB//NC

nên \(\frac{MB}{NC}=\frac{IM}{IN}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{AM}{DN}=\frac{MB}{NC}\)

=>\(\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC}\left(5\right)\)

Xét ΔOAM và ΔONC có

\(\hat{OAM}=\hat{OCN}\) (hai góc so le trong, AM//CN)

\(\hat{AOM}=\hat{CON}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAM~ΔONC

=>\(\frac{OM}{ON}=\frac{AM}{NC}\left(3\right)\)

Xét ΔOMB và ΔOND có

\(\hat{OMB}=\hat{OND}\) (hai góc so le trong, BM//DN)

\(\hat{MOB}=\hat{NOD}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOMB~ΔOND

=>\(\frac{OM}{ON}=\frac{MB}{ND}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{AM}{NC}=\frac{MB}{ND}\)

=>\(\frac{AM}{MB}=\frac{NC}{ND}\left(6\right)\)

Từ (5),(6) suy ra \(\frac{NC}{ND}=\frac{ND}{NC}\)

=>\(NC^2=ND^2\)

=>NC=ND

=>N là trung điểm của CD

Ta có: \(\frac{MA}{MB}=\frac{ND}{NC}\)

=>\(\frac{MA}{MB}=1\)

=>MA=MB

=>M là trung điểm của AB