a.
Qua B' kẻ đường thẳng song song BM cắt AB kéo dài tại E
\(\Rightarrow BM||\left(B'ED\right)\Rightarrow d\left(BM;DB'\right)=d\left(BM;\left(B'ED\right)\right)=d\left(B;\left(B'ED\right)\right)\)
Từ B kẻ \(BK\perp DE\) (K thuộc DE), từ B kẻ \(BH\perp B'K\) (H thuộc B'K)
\(\Rightarrow BH\perp\left(B'ED\right)\Rightarrow BH=d\left(B;\left(B'ED\right)\right)\)
\(BE=B'B.tan\widehat{EB'B}=B'B.tan\widehat{BMA}=B'B.\dfrac{AB}{AM}=8\)
\(BK=BE.sin\widehat{BEK}=BE.\dfrac{AD}{ED}=BE.\dfrac{AD}{\sqrt{AD^2+\left(AB+BE\right)^2}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{5}\)
\(d\left(BM;D'B\right)=BH=\dfrac{B'B.BK}{\sqrt{B'B^2+BK^2}}=\dfrac{4\sqrt{14}}{7}\)
b.
Gọi F là trung điểm CD
Ta có: \(CD\perp\left(BCC'B'\right)\Rightarrow CD\perp BC'\)
Mà \(BC'\perp B'C\) (hai đường chéo hv)
\(\Rightarrow BC'\perp\left(CDB'A'\right)\Rightarrow BC'\perp B'F\) (1)
Lại có: \(\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{B'F}=\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}\right)\left(\overrightarrow{B'B}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{B'B}\)
\(=\dfrac{1}{2}.4.4-\dfrac{1}{2}.4.4=0\)
\(\Rightarrow BM\perp B'F\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow B'F\perp\left(BMC'\right)\)
\(\Rightarrow sin\left(DB';\left(BMC'\right)\right)=cos\left(DB';B'F\right)=cos\widehat{DB'F}\)
\(B'D=4\sqrt{3}\) (đường chéo lập phương)
\(B'F=\sqrt{B'C^2+CF^2}=\sqrt{\left(4\sqrt{2}\right)^2+2^2}=6\)
\(DF=2\)
\(cos\widehat{DB'F}=\dfrac{B'D^2+B'F^2-DF^2}{2B'D.B'F}=\dfrac{5\sqrt{3}}{9}\)
. Nếu hai đường thẳng AI và A’M vuông góc với nhau thì x,y thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?
