Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu của S lên mặt (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết SA = \(2\sqrt{3}a\) và đường thẳng SC tạo với đáy một góc là 30 độ. Khoảng cách giữa SM và BD là 

Answer 1

Hệ thức lượng: \(SA^2=AH.AD=\dfrac{3}{4}AD^2\)

\(\Rightarrow AD=4a\) \(\Rightarrow AH=3a\) ; \(HD=a\)

\(\Rightarrow SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=a\sqrt{3}\)

\(HC=\dfrac{SH}{tan30^0}=3a\) \(\Rightarrow CD=\sqrt[]{HC^2-HD^2}=2a\sqrt{2}\) 

\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD=a\sqrt{2}\)

Qua M kẻ đường thẳng song song BD cắt AD tại F.

Từ H kẻ \(HE\perp MF\), từ H kẻ \(HK\perp SF\)

\(\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SME\right)\right)\)

MF là đường trung bình tam giác ABD \(\Rightarrow AD=FD=\dfrac{1}{2}AD=2a\Rightarrow HF=a\)

\(HE=HF.sin\widehat{EFH}=HF.sin\widehat{AFM}=HF.\dfrac{AM}{\sqrt{AM^2+AF^2}}=\)

\(\Rightarrow HK=\dfrac{HE.SH}{\sqrt{HE^2+SH^2}}=\)

\(DE=2HE\Rightarrow d\left(SM;BD\right)=d\left(D;\left(SME\right)\right)=2HK=\)

Answer 2