Question

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng \(\dfrac{3a}{2}\). Gọi M là trung điểm của AB và O là tâm của đáy.

a. Tính SO

b. CM: CD⊥SM

c. CM: (SBD)⊥(ABCD)

d. Xác định và tính góc giữa đt SD và (ABCD)

e. Xác định và tính góc giữa 2 mp (SOM)và(SCD)

Answer 1

\(AC=AB\sqrt{2}=2a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\dfrac{1}{2}AC=a\sqrt{2}\)

\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{a}{2}\)

O là trung điểm AC, M là trung điểm AB \(\Rightarrow OM\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow OM||AB\Rightarrow OM\perp CD\)

Mà \(SO\perp CD\) (chóp đều) \(\Rightarrow CD\perp\left(SOM\right)\Rightarrow CD\perp SM\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SO\perp\left(ABCD\right)\\SO\in\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(ABCD\right)\)

\(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\) OD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SDO}\) là góc giữa SD là (ABCD)

\(OD=OA=a\sqrt{2}\Rightarrow tan\widehat{SDO}=\dfrac{SO}{OD}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\widehat{SDO}\approx19^028'\)

\(CD\perp\left(SOM\right)\) theo chứng minh từ câu b

Mà \(CD\in\left(SCD\right)\Rightarrow\left(SCD\right)\perp\left(SOM\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa (SOM) và (SCD) bằng 90 độ