Question

Cho hình bình hành ABCD: E là trung điểm của AB,F là trung điểm của CD.AE cắt DE tại M,AC cắt BF tại N a)DEBF là hình gì?Vì sao? b) C/m BD,AC,EF đồng qui c) C/m EMFN là hình bình hành

Answer 1

Sửa đề: AC cắt DE tại M

a: ta có: \(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)

\(CF=FD=\dfrac{CD}{2}\)

mà AB=CD

nên AE=EB=CF=FD

Xét tứ giác BEDF có

BE//DF

BE=DF

Do đó: BEDF là hình bình hành

b: ta có: BEDF là hình bình hành

=>BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(1)

ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,BD,EF đồng quy

c: Ta có: BEDF là hình bình hành

=>DE//BF

Xét ΔANB có

E là trung điểm của AB

EM//NB

Do đó: M là trung điểm của AN

=>AM=MN(3)

Xét ΔDMC có

F là trung điểm của DC

FN//DM

Do đó: N là trung điểm của CM

=>CN=NM(4)

Từ (3),(4) suy ra AM=MN=NC

Xét ΔEAM và ΔFCN có

EA=FC
\(\widehat{EAM}=\widehat{FCN}\)(hai góc so le trong, AE//CF)

AM=CN

Do đó: ΔEAM=ΔFCN

=>EM=FN

Ta có: DE//FB

=>EM//FN

Xét tứ giác EMFN có

EM//FN

EM=FN

Do đó: EMFN là hình bình hành