Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên cạnh BC và CD lấy M và N sao cho ^MAN=45 độ. Xác định vị trí của M, N để SDMN đạt max
cho mik hỏi tính góc DMN hay tính diện tích của DMN vậy
Trên tia đối của tia DC lấy E sao cho DE=BM
\(\Rightarrow\Delta_VADE=\Delta_VABM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=AM\\\widehat{BAM}=\widehat{DAE}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta AME\) cân tại A
Mà \(\widehat{BAM}+\widehat{DAN}=45^0\Rightarrow\widehat{DAE}+\widehat{DAN}=45^0\)
\(\Rightarrow\widehat{EAN}=45^0=\widehat{MAN}\)
\(\Rightarrow AN\) là đường phân giác đồng thời là trung trực của EM
\(\Rightarrow MN=EN=ED+DN=BM+DN\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}DN=x\\BM=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S_{MDN}=\dfrac{1}{2}xy\) (với \(0< x;y< a\))
\(\left\{{}\begin{matrix}CN=CD-DN=a-x\\CM=BC-BM=a-y\end{matrix}\right.\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông CMN:
\(MN^2=CN^2+CM^2\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(a-x\right)^2=\left(a-y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow xy=a^2-a\left(x+y\right)\Leftrightarrow a^2=xy+a\left(x+y\right)\ge xy+a.2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow xy+2a\sqrt{xy}-a^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}+\left(1+\sqrt{2}\right)a\right)\left(\sqrt{xy}-\left(\sqrt{2}-1\right)a\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\le\left(\sqrt{2}-1\right)a\)
\(\Rightarrow xy\le\left(3-2\sqrt{2}\right)a^2\)
\(\Rightarrow S_{DMN-max}=\left(3-2\sqrt{2}\right)a^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\left(\sqrt{2}-1\right)a\) hay M, N nằm trên BC, CD sao cho \(BM=DN=\left(\sqrt{2}-1\right)a\)
À, xin lỗi, lúc làm ko để ý nên nhầm cạnh, \(S_{DMN}=\dfrac{1}{2}DN.CM\) mới đúng
Bài toán sẽ dễ đi nhiều lần, nó chỉ đơn giản thế này thôi:
Do N thuộc cạnh CD nên \(DN\le CD\), do M thuộc BC nên \(CM\le BC\)
\(\Rightarrow S_{DMN}=\dfrac{1}{2}DN.CM\le\dfrac{1}{2}CD.BC=\dfrac{1}{2}a^2\)
Dấu "=" xảy ra khi M trùng B, N trùng C
