Question

Cho hàm số y = f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 ; 4 ,  đồng biến trên đoạn 1 ; 4  và thỏa mãn đẳng thức x + 2 x . f x = f ' x 2 , ∀ x ∈ 1 ; 4 .  Biết rằng  f 1 = 3 2 , tính I = ∫ 1 4 f x d x ?

A.  I = 1186 45 .

B.  I = 1174 45 .

C.  I = 1222 45 .

D.  I = 1201 45 .

Answer 1

Đáp án A.

Vì y = f x là hàm số đồng biến trên  1 ; 4 ⇒ f x ≥ f 1 = 3 2 .

Khi đó:

x + 2 x . f x = f ' x 2 ⇔ x . 2 f x + 1 = f ' x ⇔ f ' x 2 f x + 1 = x   ( * ) .

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được:

∫ f ' x 2 f x + 1 d x = ∫ x d x = 2 3 x x + C   ( 1 ) .

Đặt t = 2 f x + 1

⇔ d t = f ' x 2 f x + 1 d x ⇒ ∫ f ' x 2 f x + 1 d x = ∫ d t = t   ( 2 ) .

Từ (1), (2) suy ra 2 f x + 1 = 2 3 x x + C mà  f 1 = 2 3 ⇒ 2. 3 2 + 1 = C + 2 3 ⇔ C = 4 3 .

Do đó:

2 f x + 1 = 2 3 x x + 4 3 ⇔ f x = 1 2 2 3 x x + 4 3 2 − 1 .

 Vậy  ∫ 1 4 f x d x = 1186 45 .