Question

Cho hai so a,b không đồng thời bằng 0.Tìm GTLN,GTNN Của biểu thức :       

Q=a*a-ab+b*b\a*a+ab+b*b

Answer 1

Bổ đề \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(\forall x,y\inℝ\right)\)

Ta có \(Q=1-\frac{2ab}{a^2+ab+b^2}\)

do \(a^2+ab+b^2=\left(a+b\right)^2-ab\ge\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)

Nên \(\frac{2ab}{a^2+ab+b^2}\le\frac{2ab}{\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}\le\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{2}{3}\)

=> \(Q\ge\frac{1}{3}\)

dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi a=b