Question

Cho hai biểu thức: A =  \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}\) và B = \(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{x-1}\) với x > 0, x ≠ a, Đặt P = A.B. Chứng minh rằng P = \(\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\)

b, Khi x ≥ 2, tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Answer 1

a: \(P=A\cdot B\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{x-\sqrt{x}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{x-1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)\)

\(=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)