Question

Cho đường tròn tâm O bán kính R và M là điểm cố định nằm bên trong đường tròn. Qua M vẽ hai dây di động ,AB CD vuông góc với nhau

a) Chứng minh rằng : \(AC^2+BD^2=AD^2+BC^2\) VÀ \(AD^2+BC^2\)không đổi

b ) 

Gọi I là trung điểm của .BCChứng minh rằng \(IO^2+IM^2=R^2\)suy ra quỹ tích của điểm I

Answer 1

a) Ta có : 

\(AC^2+BD^2=MA^2+MC^2+MB^2+MD^2\)

\(=\left(MA^2+MD^2\right)+\left(MB^2+MC^2\right)=AD^2+BC^2\)

Kẻ đường kính CE ta có \(\widehat{CDE}=90^0\) hay \(CD\perp DE\)

\(\Rightarrow DE//AB\)nên tứ giác ABED là hình thang cân

\(\Rightarrow AD=BE\)

Ta có : \(AD^2+BC^2=BE^2+BC^2=CE^2=4R^2\)không đổi

b ) \(IB=IC=IM\)nên \(IO^2+IM^2=OC^2-IM^2+IM^2=R^2\)

Gọi J là trung điểm của MO . Áp dụng công thức đường trung tuyến trong \(\Delta IMO\)

Ta có : \(IJ=\sqrt{\frac{IO^2+IM^2}{2}-\frac{MO^2}{4}}=\sqrt{\frac{R^2}{2}-\frac{MO^2}{4}}\)( không đổi vì O,M cố định )

Do đó I chạy trên đường tròn tâm J bán kính IJ không đổi.

Chúc bạn học tốt !!!