Cho đường tròn (O;R) và dây MN cố định (MN < 2R ). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E. Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E). Đường thẳng BC cắt (O;R) tại điểm K (K khác B).
1. Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh BM2=BK BC.
3. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI .chứng minh D thuộc (O) và DA là phân giác góc KDE
1: Xét (O) có
ΔAKB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAKB vuông tại K
=>AK\(\perp\)KB tại K
Xét tứ giác AKCE có \(\widehat{CKA}+\widehat{CEA}=90^0+90^0=180^0\)
nên AKCE là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
ΔBMA nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔBMA vuông tại M
Xét ΔMAB vuông tại M có ME là đường cao
nên \(BE\cdot BA=BM^2\left(1\right)\)
Xét ΔBEC vuông tại E và ΔBKA vuông tại K có
\(\widehat{EBC}\) chung
Do đó: ΔBEC~ΔBKA
=>\(\dfrac{BE}{BK}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(BE\cdot BA=BK\cdot BC\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(BM^2=BK\cdot BC\)
3: Xét ΔIAB có
BK,IE là các đường cao
BK cắt IE tại C
Do đó: C là trực tâm của ΔIAB
=>AC\(\perp\)IB tại D
=>\(\widehat{ADB}=90^0\)
=>D nằm trên (O)
Xét tứ giác IKCD có \(\widehat{IKC}+\widehat{IDC}=90^0+90^0=180^0\)
nên IKCD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BDCE có \(\widehat{BDC}+\widehat{BEC}=90^0+90^0=180^0\)
nên BDCE là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{EDC}=\widehat{EBC}\)(BDCE nội tiếp)
\(\widehat{KDC}=\widehat{KIC}\)(IKCD nội tiếp)
mà \(\widehat{EBC}=\widehat{KIC}\left(=90^0-\widehat{KAB}\right)\)
nên \(\widehat{EDC}=\widehat{KDC}\)
=>DA là phân giác của góc KDE
