Question

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Qua A vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O).Lấy M∈d,M không trùng điểm A.Qua O kẻ OH⊥BM.OH cắt d tại N.Tìm min(MN).

Answer 1

- Xét ΔOAN và ΔMAB, ta có:

\(\widehat{OAN}=\widehat{MAB}=90^0\)

\(\widehat{ONA}=\widehat{MBA}\) (cùng phụ với \(\widehat{BMN}\))

\(\Rightarrow\)ΔOAN∼ΔMAB (g-g)

\(\Rightarrow\dfrac{OA}{MA}=\dfrac{AN}{AB}\Rightarrow AN.AM=OA.AB\)

Mà \(OA.AB=R.2R=2R^2\Rightarrow AN.AM=2R^2\)

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(MN=AN+AM\ge2\sqrt{AN.AM}=2\sqrt{2R^2}=2R\sqrt{2}\)

- Để đạt \(GTNN\) của MN thì:

\(AN=AM=R\sqrt{2}\).

\(\Rightarrow M\in\left(A;R\sqrt{2}\right)\)

- Vậy khi M là 1 trong 2 giao điểm của \(\left(O\right)\) với \(\left(A;R\sqrt{2}\right)\) thì MN đạt min là \(2R\sqrt{2}\)

Answer 2

Hình vẽ: