Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A, về hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm). a. Chúng minh tứ giác ABOC nội tiếp. b. Vẽ đường kính CE, nối AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh AB² = AE.AF. c.Cho OA cắt BC tại H. BF cắt OA tại I. Chứng minh I là trung điểm của AH.
a: Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
Xét (O) có
ΔCFE nội tiếp
CE là đường kính
Do đó: ΔCFE vuông tại F
=>CF\(\perp\)AE tại F
Xét ΔECA vuông tại C có CF là đường cao
nên \(AF\cdot AE=AC^2\)
=>\(AF\cdot AE=AB^2\)
c: Xét (O) có
ΔEBC nội tiếp
EC là đường kính
Do đó: ΔEBC vuông tại B
=>EB\(\perp\)BC
Ta có: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC
=>OA//BE
Xét (O) có
\(\widehat{FBA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BF
\(\widehat{BEF}\) là góc nội tiếp chắn cung BF
Do đó: \(\widehat{FBA}=\widehat{BEF}\)
mà \(\widehat{BEF}=\widehat{IAF}\)(BE//OA)
nên \(\widehat{IAF}=\widehat{IBA}\)
Xét ΔIAF và ΔIBA có
\(\widehat{IAF}=\widehat{IBA}\)
\(\widehat{BIA}\) chung
Do đó: ΔIAF~ΔIBA
=>\(\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{IF}{IA}\)
=>\(IA^2=IB\cdot IF\left(3\right)\)
Xét ΔCAO vuông tại C có CH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AC^2\)
=>\(AH\cdot AO=AF\cdot AE\)
=>\(\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AF}{AO}\)
Xé ΔAHF và ΔAEO có
\(\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AF}{AO}\)
\(\widehat{HAF}\) chung
Do đó: ΔAHF~ΔAEO
=>\(\widehat{AHF}=\widehat{AEO}\)
mà \(\widehat{AEO}=\widehat{CBF}\)
nên \(\widehat{IHF}=\widehat{IBH}\)
Xét ΔIHF và ΔIBH có
\(\widehat{IHF}=\widehat{IBH}\)
\(\widehat{HIF}\) chung
Do đó: ΔIHF~ΔIBH
=>\(\dfrac{IH}{IB}=\dfrac{IF}{IH}\)
=>\(IH^2=IB\cdot IF\)
=>IH=IA
=>I là trung điểm của HA
