Question

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có điểm D nằm giữa B và C. Đường thẳng qua D và vuông góc với BC cắt AC tại E, cắt tia đối của tia AB tại F.

a. C/m: \(CD\cdot CB=CE\cdot CA.\)

b. C/m: \(\widehat{BAD}=\widehat{BCF}.\)

c. Gọi K là giao điểm của BE và CF. C/m: AC là tia phân giác của \(\widehat{DAK}.\)

Answer 1

a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A

\(\hat{DCE}\) chung

Do đó: ΔCDE~ΔCAB

=>\(\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}\)

=>\(CD\cdot CB=CE\cdot CA\)

b: Xét ΔBDF vuông tại D và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{DBF}\) chung

Do đó: ΔBDF~ΔBAC

=>\(\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC}\)

=>\(\frac{BD}{BF}=\frac{BA}{BC}\)

Xét ΔBDA và ΔBFC có

\(\frac{BD}{BF}=\frac{BA}{BC}\)

góc DBA chung

Do đó: ΔBDA~ΔBFC

=>\(\hat{BAD}=\hat{BCF}\)

c: Xét ΔBFC có

CA,FD là các đường cao

CA cắt FD tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔBFC

=>BE ⊥ FC tại K

Xét tứ giác BAED có \(\hat{BAE}+\hat{BDE}=90^0+90^0=180^0\)

nên BAED là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác FAEK có \(\hat{FAE}+\hat{FKE}=90^0+90^0=180^0\)

nên FAEK là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\hat{KAE}=\hat{KFE}\) (FAEK nội tiếp)

\(\hat{DAE}=\hat{DBE}\) (BAED nội tiếp)

mà \(\hat{KFE}=\hat{DBE}\left(=90^0-\hat{BCF}\right)\)

nên \(\hat{KAE}=\hat{DAE}\)

=>AC là phân giác của góc DAK