a)Xét hai tam giác vuông ΔBAD và ΔBED có:
\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\) = 90o
BD là cạnh chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) (vì BD là tia phân giác của\(\widehat{ABC}\))
Vậy ΔBAD = ΔBED (cạnh huyền - góc nhọn)
bVì ΔBAD = ΔBED (CMT), suy ra AB = BE.
AF = EC(GT)
Ta có:
AB + AF = BE + EC (= AC).
=> BF = BC.
Xét hai tam giác ΔBFD và ΔBCD có:
BF = BC (cmt)
BD là cạnh chung
\(\widehat{FBD}=\widehat{CBD}\) (vì BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
=> ΔBFD = ΔBCD (c.g.c).
=>\(\widehat{BDF}=\widehat{BDC}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat{BDC}=\widehat{ADE}\) = 180o (hai góc kề bù).
Nên \(\widehat{BDF}+\widehat{ADE}\) = 180o
=> tia DF và tia DE là hai tia đối nhau.
Vậy ba điểm E, D, F thẳng hàng.
c) Vì\(\widehat{ABC}\) = 60o, mà BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)
Suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) = \(\dfrac{1}{2}\) \(\widehat{ABC}\) = 30o
Xét tam giác vuông ΔBAD có:
\(\widehat{ABD}\) = 30o
BD là cạnh huyền.
AD là cạnh đối diện góc 30o
Theo tính chất trong tam giác vuông, cạnh góc vuông đối diện góc 30o bằng nửa cạnh huyền.
Suy ra AD =\(\dfrac{1}{2}\) BD.
Vì ΔBAD = ΔBED (CMT), suy ra AD = DE.
Suy ra DE =\(\dfrac{1}{2}\) BD.
Mà BD = DF (do ΔBFD = ΔBCD).
Vậy DB = DF.
a)BD là tia phân giác của góc ABC (giả thiết)
=> góc ABD = góc EBD
Góc A = góc E = 90 độ (giả thiết)
BD là cạnh chung
=> ΔBAD = ΔBED (cạnh huyền - góc nhọn)
b)ΔBAD = ΔBED (chứng minh trên)
=> AD = DE
AF = EC (giả thiết)
AD + AF = AC
+ EC = DC
AD = OF; AF = EC => AC = DC
=> D là trung điểm của AC
Gọi giao điểm của EF và AC là I. Ta có:
ΔDEI = ΔCEF (cạnh góc vuông - góc nhọn) => DI = CF
Mà D là trung điểm của AC => DI = DC/2 = CF/2
=> I là trung điểm của AC
=> I trùng với D
Vậy E, D, F thẳng hàng
c)Góc ABC = 60 độ (giả thiết)
BD là tia phân giác của góc ABC
=> góc ABD = góc EBD = 30 độ
ΔBAD vuông tại A có góc ABD = 30 độ
=> BD = 2AD
ΔBED vuông tại E có góc EBD = 30 độ
=> BD = 2DE
Mà AD = DE (chứng minh trên)
=> BD = DF
