Question

cho ΔABC vuông cân tại A.đường cao AH và đương phân giác BE cắt nhau tại I . chứng minh CE = 2.HI

Answer 1

Answer 2

Do BE là phân giác góc B \(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{IBH}\) (1)

Do tam giác ABE vuông tại A \(\Rightarrow\widehat{AEB}=90^0-\widehat{ABE}\) (2)

Do tam giác IBH vuông tại H \(\Rightarrow\widehat{BIH}=90^0-\widehat{IBH}\) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{BIH}\)

Mà \(\widehat{BIH}=\widehat{AIE}\) (đối đỉnh) \(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{AIE}\Rightarrow\Delta AIE\) cân tại A

\(\Rightarrow AI=AE\)

Lại có ABC vuông cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là trung tuyến

\(\Rightarrow H\) là trung điểm BC \(\Rightarrow BC=2BH\)

Áp dụng định lý phân giác trong tam giác ABC: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CE}{BC}\Rightarrow\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{CE}{2BH}\) (4)

Áp dụng định lý phân giác trong tam giác ABH: \(\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{HI}{BH}\)  (5)

(4);(5) \(\Rightarrow\dfrac{CE}{2BH}=\dfrac{HI}{BH}\Rightarrow CE=2HI\)

Answer 3