Cho ΔABC nhọn; các đường cao BD và CN cắt nhau tại H. E là điểm đối xứng với M qua AC ( M là trung điểm BC ). K là điểm đối xứng với H qua M.
1) CM Tứ giác BHCK là HBH
2) CM tứ giác MDEC là hình thoi
3) Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. CM A đối xứng với K qua O
4) Gọi F đối xứng với H qua BC. Cm tứ giác BFKC là hình hang cân.
mình chỉ cần câu 3. Mọi người giúp mình nhé, mình cảm ơn!
1: Xét tứ giác BHCK có
M là trung điểm chung của BC và HK
=>BHCK là hình bình hành
2: ΔBDC vuông tại D
mà DM là đường trung tuyến
nên DM=MC
M đối xứng E qua AC
=>AC là đường trung trực của ME
=>DC là đường trung trực của ME
=>DM=DE; CM=CE
mà DM=MC
nên DM=DE=CM=CE
=>DMCE là hình thoi
3: O là giao điểm của 3 đường trung trực của ΔABC
=>OA=OB=OC
=>A,B,C cùng thuộc đường tròn (O)(1)
Ta có: BHCK là hình bình hành
=>BH//CK và BK//CH
Ta có: BH//CK
BH\(\perp\)AC
Do đó: CK\(\perp\)CA
=>ΔCKA vuông tại C
=>C,A,K cùng nằm trên đường tròn đường kính AK(2)
Ta có: CH//BK
CH\(\perp\)AB
Do đó: BK\(\perp\)BA
=>B,A,K cùng nằm trên đường tròn đường kính AK(3)
Từ (2),(3) suy ra A,B,K,C cùng nằm trên đường tròn đường kính AK(4)
Từ (1),(4) suy ra AK là đường kính của (O)
=>A đối xứng K qua O
4: Gọi G là giao điểm của HF với BC
=>G là trung điểm của HF
Xét ΔHFK có
G,M lần lượt là trung điểm của HF,HK
=>GM là đường trung bình của ΔHFK
=>GM//FK
=>FK//BC
Xét ΔCHF có
CG là đường cao
CG là đường trung tuyến
Do đó: ΔCHF cân tại C
=>CH=CF
mà CH=BK(BHCK là hình bình hành)
nên BK=CF
Xét tứ giác BCKF có
BC//KF
BK=CF
Do đó: BCKF là hình thang cân
`3`)
Xét tứ giác `BHCK`, có:
`BM = MC` (`M` là trung điểm `BC`)
`HM = MK` (`K` đối xứng với `H` qua `M`)
`=> BHCK` là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
`=>` BK // CH và `BK = CH`.
Xét tứ giác `BKHC`, có:
$\widehat{BKC} = \widehat{BHC} = 90^o$ (`BD`, `CN` là đường cao)
`=>` Tứ giác `BKHC` nội tiếp đường tròn đường kính `BC`.
`O` là giao điểm các đường trung trực của tam giác `ABC` nên `O` cách đều ba đỉnh `A`, `B`, `C`.
`=> O` là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác `ABC`.
Vì `O` là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác `ABC` nên `OA = OC`.
Mà `BK = CH` (cmt) và BK // CH `=> BKHC` là hình bình hành.
`=> OH = OK` (tính chất hình bình hành)
`=> OA + OH = OC + OK => AK = 2OA`.
Vậy `O` là trung điểm của `AK`. (`1`)
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác `ABC` nên `AO` vuông góc với `BC`.
Vì `BHCK` là hình bình hành nên BK // CH.
Mà `CH` vuông góc với `AB` (`CN` là đường cao)
`=> BK` vuông góc với `AB`.
`=>` AK // BC (cùng vuông góc với `AB`).
Vì `AO` vuông góc với `BC` và AK // BC nên `AO` vuông góc với `AK`. (`2`)
Từ (`1`) và (`2`), ta suy ra `A` đối xứng với `K` qua `O`.
