Question

Cho đa thức f(x) = x^2+ax+b(a,b thuộc Z).Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố k để f(x) = f(2019).f(2020)

Answer 1

Lời giải:

$f(x)=x^2+ax+b$

$f(f(x)+x)=[f(x)+x]^2+a[f(x)+x]+b$

$=f(x)^2+x^2+2xf(x)+af(x)+ax+b$

$=f(x)^2+2xf(x)+af(x)+f(x)$

$=f(x)[f(x)+2x+a+1]$

$=f(x)(x^2+ax+b+2x+a+1)$

$=f(x)[(x+1)^2+a(x+1)+b]=f(x)f(x+1)$

Thay $x=2019$ vô thì:

$f(f(2019)+2019)=f(2019).f(2020)$. Do đó tồn tại số $k=f(2019)+2019\in\mathbb{Z}$ thỏa mãn đkđb. 

Ta có đpcm.