\(F\left(5\right)-F\left(4\right)=2023\Leftrightarrow\left(25a+5b+c\right)-\left(16a+4b+c\right)=2023\)
\(\Leftrightarrow9a+b=2023\)
Khi đó:
\(F\left(9\right)-F\left(2\right)=\left(81a+9b+c\right)-\left(4a+2b+c\right)=77a+7b\)
\(=14a+7\left(9a+b\right)=14a+7.2023=7\left(2a+2023\right)⋮7\)
\(\Rightarrow F\left(9\right)-F\left(2\right)\) là hợp số
TK:
Để chứng minh rằng \(F(9) - F(2)\) là số hợp, ta sẽ sử dụng Định lí trung bình giá trị (Mean Value Theorem) cho đa thức.
Định lý trung bình giá trị nói rằng nếu \(f(x)\) là một hàm liên tục trên đoạn đóng \([a, b]\) và có đạo hàm trên đoạn mở \((a, b)\), thì tồn tại một điểm \(c\) trong \((a, b)\) sao cho \(f'(c)\) bằng trung bình cộng của \(f(b)\) và \(f(a)\):
\[
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\]
Ứng dụng Định lí trung bình giá trị cho đa thức \(F(x)\) trên mỗi đoạn \([2, 9]\) và \([4, 5]\), ta có:
\[
F'(c_1) = \frac{F(9) - F(2)}{9 - 2}
\]
và
\[
F'(c_2) = \frac{F(5) - F(4)}{5 - 4}
\]
Do đó, ta có:
\[
F(9) - F(2) = F'(c_1) \cdot 7
\]
và
\[
F(5) - F(4) = F'(c_2) \cdot 1
\]
Từ giả thiết, ta có \(F(5) - F(4) = 2023\). Vì \(a\) là số nguyên dương, suy ra \(F'(c_2)\) cũng là số nguyên.
Vậy, \(F'(c_1) \cdot 7 = F(9) - F(2)\) cũng là một số nguyên, nhưng không thể là một số nguyên tố vì \(F'(c_2)\) là một số nguyên và \(7\) là một số nguyên khác \(1\). Do đó, \(F(9) - F(2)\) là một số hợp.
